지수가 달라지는 무한합
실수 s>1에서는 1+1/2ˢ+1/3ˢ+⋯가 수렴한다. s=2에서 처음 세 항의 합은 1+1/4+1/9=49/36이다. 이는 전체 합이 아니라 부분합이다. s가 커지면 2 이상의 각 항은 작아지므로 ζ(s)도 감소한다. 첫 항 1은 유지되며 s가 양의 무한대로 갈 때 전체 값은 1에 가까워진다.
남은 꼬리의 크기
실수 s>1이고 S_N=Σ_{n=1}^N n⁻s라 두자. 감소하는 함수 x⁻s의 적분과 비교하면 (N+1)^(1−s)/(s−1)≤ζ(s)−S_N≤N^(1−s)/(s−1)이다. 예를 들어 s=2,N=10이면 열 항 뒤의 오차는 1/11 이상 1/10 이하다. 항을 몇 개 더했다고 무조건 높은 정확도를 얻는 것은 아니며, s가 1에 가까울수록 꼬리가 천천히 줄어든다.
급수와 해석적 연속
s=1에서는 조화급수가 발산하고 제타 함수도 극점을 갖는다. 그 밖의 복소수 영역으로 확장한 제타 함수가 유한한 값을 가진다고 해서 Σn⁻s가 그곳에서 보통의 의미로 수렴한다는 뜻은 아니다. 예를 들어 음의 실수 지수에서는 원래 급수의 항이 0으로 줄어들지도 않는다. 함수의 확장값과 발산하는 부분합의 극한을 같은 계산으로 설명해서는 안 된다.
홀수 항과 짝수 항 나누기
실수 s>1에서 짝수 항들의 합은 2⁻sζ(s)다. 따라서 홀수 항들의 합은 (1−2⁻s)ζ(s)가 된다. s=2이면 홀수 역제곱의 합은 전체 역제곱 합의 3/4이다. 각 부분급수가 수렴하는 영역에서 항을 나누어 계산한 결과다. 복소수 입력을 계산할 때도 사용하려는 급수나 곱 표현의 유효 영역을 먼저 확인한다.