시행 하나와 개수 벡터
각 시행은 서로 배타적인 범주 K개 중 하나의 결과를 낸다. 범주 확률 p_i는 비음수이고 합이 1이어야 한다. n회 시행 후 얻은 개수 x_i의 합은 n이다. 순서를 기록한 개별 결과열과 범주별 개수만 남긴 벡터는 다르다. 같은 개수 벡터를 만드는 여러 순서가 확률 계산에 포함된다.
순열 수를 포함하는 계산
n=3이고 세 범주의 확률이 (0.2,0.3,0.5)라고 하자. 결과가 첫째,둘째,셋째 범주 순서로 나올 확률은 0.2×0.3×0.5=0.03이다. 범주가 각각 한 번씩 나오는 개수 (1,1,1)는 가능한 순서가 3!=6개이므로 확률이 0.18이다. 개수 벡터의 확률질량은 n!/(x_1!⋯x_K!)에 각 p_i^x_i를 곱해 구한다.
독립 시행과 의존하는 개수
시행들이 독립이어도 범주별 총개수들은 합이 n으로 고정돼 있어 서로 독립이지 않다. 평균은 np_i, 분산은 np_i(1−p_i), 서로 다른 범주의 공분산은 −np_ip_j다. 예를 들어 n=10, p_1=0.2, p_2=0.3이면 두 개수의 평균은 2와 3, 공분산은 −0.6이다. 한 범주가 더 많이 나오면 다른 범주들이 차지할 횟수는 줄어든다.
다른 생성 과정과 구분
범주가 두 개이면 한 범주의 개수는 이항분포를 따르고 다른 개수는 n에서 뺀 값이다. 유한한 모집단에서 비복원 추출하면 남은 범주 비율이 달라지므로 일반적인 다항 시행과 조건이 다르다. 집단마다 범주 확률이 바뀌는 경우에도 고정 p 모형의 변동과 차이가 생길 수 있다. 여러 범주를 동시에 허용하는 관측도 한 시행당 하나의 범주라는 조건부터 다시 확인해야 한다.