성공 횟수를 세기
공정한 동전을 독립적으로 네 번 던져 앞면이 나온 횟수를 세면 n=4, p=1/2인 이항분포다. 특정한 순서로 앞면과 뒷면이 나온 결과와 앞면이 두 번 나온 사건은 다르다. 후자는 여러 순서를 함께 포함한다.
확률 계산
0<p<1일 때 성공 횟수가 k일 확률은 C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ다. 네 번 중 앞면이 두 번일 확률은 C(4,2)/16=6/16이다. p=0이면 항상 0회, p=1이면 항상 n회 성공하므로 이 경계는 별도로 해석할 수 있다.
세 조건 확인
기본 모형은 시행 횟수가 고정되어 있고, 시행들이 독립이며, 매번 성공 확률이 같다는 조건을 사용한다. 물건을 뽑아 돌려놓지 않는 추출에서는 성공 확률이 바뀔 수 있다. 단지 성공 횟수를 센다고 언제나 이항분포가 되는 것은 아니다.
평균과 실제 횟수
n=5, p=1/2이면 기댓값은 2.5다. 한 번의 실험에서 2.5회 성공하는 것은 아니며 실제 값은 정수다. 기댓값은 분포의 평균이고 반드시 가능한 관측값 가운데 하나여야 하는 것은 아니다.