나머지로 계산하는 예
정수환에서 I=4ℤ를 택하면 몫환 ℤ/4ℤ에는 [0], [1], [2], [3]이 있다. [3]+[3]=[2]이고 [3][3]=[1]이다. 6과 2의 차는 4의 배수이므로 [6]=[2]처럼 같은 잉여류에 여러 대표원이 있다.
대표원이 달라도 같은 결과
a를 a+i로 바꾸었을 때 (a+i)b−ab=ib가 I에 들어가야 곱이 대표원 선택에 무관해진다. 다른 인자를 바꿀 때도 같은 조건이 필요하다. 양쪽 아이디얼의 흡수 성질이 이를 보장하므로 임의의 덧셈 부분군만으로는 몫환 곱셈이 정의되지 않는다.
정역이나 체가 될 조건
곱셈 항등원을 갖는 가환환에서는 I가 소아이디얼일 때 R/I가 정역이고, I가 극대 아이디얼일 때 R/I가 체다. 두 종류 모두 진아이디얼이라는 조건을 포함한다. 환 전체로 나눈 몫은 0=1인 영환이므로 여기서 말하는 정역이나 체가 아니다.
몫에서도 남는 영인수
ℤ/4ℤ에서는 [2]가 0이 아닌데 [2]²=[0]이므로 정역이 아니다. 반면 ℤ/5ℤ는 체다. 몫환을 만들었다는 사실만으로 나눗셈이 가능해지거나 영인수가 사라지는 것은 아니며, 어떤 아이디얼을 선택했는지가 중요하다.