완전 적분을 나눈다
a>0,x≥0에서 아래쪽과 위쪽 적분을 더하면 완전 감마 함수 Γ(a)가 된다. 따라서 정규화한 P(a,x)와 Q(a,x)의 합은 1이다. γ(a,x)와 Γ(a,x)는 두 인자를 가진 불완전 함수이고 Γ(a)는 한 인자의 완전 함수다. 같은 감마 기호라도 인자 수와 대소문자에 따라 의미가 다르다.
형상이 3인 예
a=3에서는 두 차례 부분적분으로 위쪽 적분 Γ(3,x)=e^(−x)(x²+2x+2)를 얻는다. Γ(3)=2이므로 Q(3,x)=e^(−x)(1+x+x²/2)다. x=2에서는 Q=5e^(−2)로 약 0.6767이고 P는 약 0.3233이다. 비정규화 위쪽 값은 10e^(−2)이므로 Q와 같은 숫자가 아니다.
확률분포와의 연결
형상 a, 척도 1인 감마 확률변수의 누적분포는 P(a,x)다. 척도가 θ이면 입력을 x/θ로 바꾸므로 누적확률은 P(a,x/θ)다. 위쪽 Q는 같은 조건의 꼬리 확률에 대응한다. x에 대한 도함수는 정규화된 감마 밀도이므로 아래쪽 P는 증가하고 위쪽 Q는 감소한다.
작은 꼬리를 계산할 때
P가 1에 매우 가까우면 1−P를 계산하는 과정에서 작은 Q의 유효 숫자를 잃을 수 있다. 반대로 Q가 1에 가까울 때는 작은 P에 같은 문제가 생길 수 있다. 보완 함수를 직접 계산하는 방법과 로그 확률 표현을 검토한다. 함수값이 0과 1 사이여야 한다는 조건만으로 계산 정확성을 충분히 확인할 수는 없으며, 모수 범위와 사용한 정규화를 함께 점검해야 한다.