완전 적분과의 차이
완전 베타 함수 B(a,b)는 0부터 1까지 적분해 모수에 따른 수 하나를 준다. 불완전 형태에서는 위끝 x도 바뀌므로 누적되는 양이 달라진다. x=1이면 B_x=B이고, 정규화한 I_1은 1이다. x=0이면 두 불완전 형태 모두 0이다. 불완전이라는 말이 근사값이나 계산이 덜 끝났다는 뜻은 아니다.
정규화 차이의 예
a=2,b=2라면 적분 안의 식은 t(1−t)다. B_x=x²/2−x³/3이고 B(2,2)=1/6이므로 I_x=3x²−2x³다. x=1/4에서 B_x는 5/192이지만 I_x는 5/32다. 같은 입력에서도 완전 베타 함수로 나누었는지에 따라 숫자가 달라지므로 함수 이름과 반환값의 규약을 확인해야 한다.
대칭으로 보완 확률 구하기
변수 치환으로 I_x(a,b)=1−I_(1−x)(b,a)를 얻는다. 모수 순서도 함께 바뀌는 관계다. a=b=2,x=1/4의 예에서는 I_(3/4)=27/32여서 두 누적값의 합이 1이다. a와 b가 다른데 입력만 1−x로 바꾸고 모수 순서를 그대로 유지하면 일반적으로 같은 관계가 되지 않는다.
확률과 수치적 주의
정규화 형태는 베타 분포의 누적분포함수다. 구간 [u,v]의 확률은 I_v−I_u로 계산할 수 있다. 매우 작은 꼬리를 1에서 큰 누적값을 빼는 방식으로 계산하면 정밀도를 잃을 수 있어 보완 함수를 직접 계산하는 방법을 검토한다. 양의 모수에서 얻은 확률 해석과 경계 모수에 대한 극한 처리도 구분해야 한다.