곱의 미분에서 얻기
(uv)′=u′v+uv′를 적분하고 항을 옮기면 부분적분 식을 얻는다. u를 미분하고 v′를 적분하는 방향으로 역할을 나눈다. 적분하는 과정에서 상수는 최종 결과의 임의상수로 정리한다.
다항식의 간단한 확인
∫x·2x dx에서 u=x, v′=2x로 두면 v=x²이다. 결과는 x³−∫x²dx=2x³/3+C다. 처음 식을 2x²로 정리해 직접 적분한 값과 같아 공식을 확인할 수 있다.
선택에 따라 난이도가 달라진다
u와 v′를 어떻게 나누든 적용 조건에 맞으면 관계식은 성립하지만 계산이 쉬워지는지는 다르다. 미분하면 간단해지는 부분과 적분하기 쉬운 부분을 선택하는 것이 유리하다. 모든 곱의 적분이 자동으로 간단해지는 것은 아니다.
정적분 형태
적절한 연속성과 미분 가능성 조건에서 ∫ₐᵇu(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ₐᵇ−∫ₐᵇu′(x)v(x)dx다. 바깥의 곱도 양 끝 값의 차로 계산한다. 이 항을 빠뜨리거나 부호를 더하기로 바꾸지 않도록 주의한다.