곱을 인자로 나누어 보기
P 안에 곱 ab가 들어간다면 적어도 한 인자도 P에 들어가야 한다. 두 인자 모두 P 밖에 있는데 곱만 P로 들어가는 일이 없어야 한다는 뜻이다. 따라서 P 밖의 원소들은 곱셈에 대해 닫혀 있다.
정수환의 예
7ℤ는 소아이디얼이다. 정수 a,b의 곱이 7의 배수이면 적어도 하나가 7의 배수다. 반면 6ℤ는 소아이디얼이 아니다. 2와 3은 6ℤ에 없지만 그 곱 6은 들어가기 때문이다.
몫환으로 확인
[a][b]=[0]은 ab∈P라는 뜻이다. P가 소아이디얼이면 [a]=[0] 또는 [b]=[0]이 되어 몫환에 영인수가 없다. P≠R라는 조건도 있으므로 몫환은 1≠0인 정역이다. 이 관찰을 거꾸로 읽으면 정역인 몫환에서 소아이디얼 조건을 얻는다.
극대일 필요는 없음
항등원을 갖는 가환환에서 극대 아이디얼은 소아이디얼이지만 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 정수환의 {0}은 소아이디얼이다. 정수환 자체가 정역이기 때문이다. 하지만 {0}과 ℤ 사이에 2ℤ 같은 진아이디얼이 있으므로 {0}은 극대가 아니다.