하나의 원소로 생성하기
a⁰은 항등원이고 음의 지수는 역원의 거듭제곱을 뜻한다. 생성원 하나로 모든 원소가 표현된다는 것이 핵심이다. 덧셈 표기에서는 거듭제곱 대신 정수배를 사용한다. 정수 전체의 덧셈군은 1의 모든 정수배로 이루어지므로 무한 순환군이다.
나머지 덧셈의 예
8로 나눈 나머지들의 덧셈군에서는 1을 반복해서 더해 0부터 7까지 모두 얻는다. 3도 0, 3, 6, 1, 4, 7, 2, 5를 지나므로 생성원이다. 반면 4를 반복해서 더하면 0과 4만 얻으므로 전체 군의 생성원이 아니다. 하나의 순환군에 생성원이 여러 개 있을 수 있다.
가환성이 따라오는 이유
같은 생성원의 두 거듭제곱은 aᵐaⁿ=aᵐ⁺ⁿ=aⁿ⁺ᵐ=aⁿaᵐ이다. 따라서 모든 순환군은 가환군이다. 하지만 모든 가환군이 한 원소로 생성된다는 역방향 결론은 성립하지 않는다. 가환성은 연산 순서에 대한 조건이고 순환성은 생성에 대한 조건이다.
부분군과 유한 순환군
순환군의 부분군도 순환군이다. 또한 같은 유한 위수를 갖는 순환군들은 서로 동형이다. n개 원소인 순환군은 n으로 나눈 나머지의 덧셈군으로 나타낼 수 있다. 이 덧셈 구조를 나머지 전체의 곱셈과 혼동하면 안 된다.