두 부분의 변화
곱 f(x)g(x)에서는 첫 인수의 변화와 둘째 인수의 변화가 모두 결과에 영향을 준다. 첫째를 미분하고 둘째를 그대로 둔 항, 첫째를 그대로 두고 둘째를 미분한 항을 더한다. 두 항 가운데 하나를 빠뜨리지 않아야 한다.
다항식으로 확인
f(x)=x², g(x)=x³이면 곱은 x⁵이고 도함수는 5x⁴다. 곱의 미분법으로도 2x·x³+x²·3x²=5x⁴를 얻는다. 도함수끼리 곱한 2x·3x²=6x³은 다른 결과이므로 잘못이다.
상수배는 특별한 경우
한 함수가 상수 c이면 그 도함수는 0이다. 따라서 (cf)′=0·f+cf′=cf′가 된다. 상수배 미분 규칙도 곱의 미분법 안에서 설명할 수 있다.
세 함수와 부분적분
세 함수의 곱은 한 번에 한 인수씩 미분한 세 항을 더한다. 두 함수의 곱 미분식을 적분하고 항을 옮기면 부분적분 공식이 된다. 미분 규칙과 적분법이 같은 곱 관계에서 연결되는 것이다.