안쪽 함수와 도함수
∫2x(x²+1)³dx에서는 x²+1을 u로 두면 2x dx가 du에 대응한다. 적분은 ∫u³du=u⁴/4+C가 되고 원래 변수로 돌리면 (x²+1)⁴/4+C다. 결과를 미분하면 원래 적분할 함수인 2x(x²+1)³이 나온다.
일부만 바꾸지 않기
치환 후에는 적분 안의 변수와 미분 기호를 일관되게 바꾼다. u로 바꾼 식에 x가 남았다면 그 x도 새 변수로 표현되거나 다른 항과 함께 정리되는지 확인해야 한다. 단순히 dx를 du로 이름만 바꾸는 절차가 아니다.
정적분의 예
∫₀¹2x(x²+1)³dx에서 u=x²+1이면 끝점은 1과 2가 된다. 따라서 ∫₁²u³du=(16−1)/4=15/4다. 새 변수의 적분을 계산하면서 원래 끝점 0과 1을 그대로 사용하면 틀린 값이 나온다.
미분과의 연결
치환적분은 합성함수를 미분할 때 안쪽 함수의 도함수가 곱해지는 연쇄법칙을 거꾸로 활용한다. 치환의 선택과 적용 범위는 함수가 정의되는 구간에 맞아야 한다. 변수를 원래대로 되돌리면 부정적분 결과를 같은 입력 변수로 해석할 수 있다.