어느 영역의 확률인가
h≥0,a≥0에서 T(h,a)는 X>h이면서 0<Y<aX인 사건의 확률이다. 평면에서 x=h의 오른쪽이면서 수평축과 직선 y=ax 사이에 놓인 영역을 생각할 수 있다. X와 Y가 각각 정규분포라는 사실만으로 충분하지 않고 독립 표준정규라는 조건이 들어간다. 다른 평균과 분산은 좌표 변환의 의미를 함께 따져야 한다.
원점에서의 각도 예
h=0이면 영역은 원점에서 시작하는 부채꼴이다. 독립 표준정규 쌍의 밀도는 회전 대칭이므로 각도 arctan a가 전체 한 바퀴 2π에서 차지하는 비율을 사용할 수 있다. 따라서 T(0,a)=arctan(a)/(2π)다. a=1이면 각도가 π/4여서 T(0,1)=1/8이다. 두 변수가 모두 양수일 확률 1/4과 달리 y<x 조건까지 포함한 값이다.
결합확률과 조건부확률
T는 두 조건이 동시에 일어나는 결합확률이다. X>h라는 조건 아래의 확률을 구하려면 그 조건의 확률로 나누어야 한다. h=0,a=1에서는 P(X>0)=1/2이므로 조건부확률은 (1/8)/(1/2)=1/4다. 같은 1/8을 조건부확률이라고 읽으면 다른 질문에 답하는 셈이다.
모수의 방향과 적용 범위
양의 구간에서 h를 올리면 영역이 좁아져 확률이 감소하고 a를 올리면 영역이 넓어진다. a=0에서는 영역이 비어 T=0이다. 함수는 더 넓은 실수 모수로 확장해 다룰 수 있지만 위의 단순한 영역 확률 설명을 부호 조건 없이 그대로 적용해서는 안 된다. 왜정규 및 다변량 정규 확률 계산에 연결할 때도 인자의 순서와 표준화, 보완 확률을 구분해야 한다.