마지막 시행은 성공이다
양의 정수 r을 목표 성공 수로 두고 0<p≤1인 동일한 성공 확률로 시행을 반복한다. 실패가 k번 나온 뒤 r번째 성공으로 끝나려면 마지막 시행은 성공이어야 한다. 그 앞 r+k−1회에서 성공 r−1회를 배치하는 방법이 C(r+k−1,r−1)개다. 따라서 실패 횟수 k의 확률은 이 조합수에 p^r(1−p)^k를 곱한 값이다.
실패 수와 시행 수의 예
r=2,p=1/2에서 실패가 정확히 한 번 나오는 종료열은 성공·실패·성공과 실패·성공·성공이다. 각 확률이 1/8이므로 합은 1/4이다. 실패를 1번 셌지만 총 시행 수는 3이다. 총 시행 수 T를 사용하는 표현에서는 T=K+r이므로 같은 사건을 T=3으로 나타낸다. 두 규약의 숫자만 비교하면 r만큼의 차이가 생긴다.
평균과 분산
실패 횟수의 평균은 r(1−p)/p이고 분산은 r(1−p)/p²다. r=2,p=1/2이면 평균 실패 수는 2, 분산은 4이며 평균 총 시행 수는 4다. 총 시행 수로 바꿔도 상수 r을 더한 것이므로 분산은 같다. 성공 한 번까지의 실패를 세는 r=1 경우는 기하분포와 연결되지만 기하분포 역시 시행 수와 실패 수 규약을 구분해야 한다.
개수 모형으로의 표현
평균 μ와 형상 r로 표현하면 p=r/(r+μ)이고 분산은 μ+μ²/r이다. 양의 μ에서 분산이 평균보다 커지는 구조를 갖는다. 형상을 실수로 확장한 모형도 사용되지만 그 값을 그대로 정수 성공 개수로 읽을 수는 없다. 관측 개수에 이 모형을 맞췄다는 사실이 실제로 성공까지 반복하는 물리적 과정이 존재함을 증명하지는 않는다.