응답을 수열로 만든다
아날로그 임펄스 응답을 h_a(t)라고 하면 t = 0, T, 2T의 값을 차례로 읽어 디지털 수열을 만든다. 이 수열을 임펄스 응답으로 갖는 디지털 필터를 구하는 것이 핵심이다. 일반 입력 신호를 녹음하는 과정과 필터를 설계하는 과정을 구분한다.
지수 감소 응답의 예
인과적인 아날로그 응답이 200 exp(-200t)이고 표본률이 1 kHz라면 디지털 응답은 0.2 exp(-0.2n)이다. 첫 값들은 약 0.2, 0.1637, 0.1341이다. 앞의 0.2에는 표본 간격 0.001초를 곱한 정규화가 들어 있다.
극점의 대응
아날로그의 단순 극점 p는 디지털에서 exp(pT)로 대응한다. 앞의 p = -200은 exp(-0.2), 약 0.8187이 된다. 쌍선형 변환으로 같은 극점을 옮겼을 때의 값과는 다르므로 두 변환의 계수를 섞어서 사용하지 않는다.
크기 비교의 기준
이 예의 아날로그 DC 이득은 1이지만 디지털 임펄스 응답의 합은 0.2 / (1-exp(-0.2))로 약 1.1033이다. 표본 시점의 임펄스 응답을 맞췄다고 DC 이득까지 자동으로 같아지지는 않는 사례다. 변환 후의 주파수 응답과 정규화 조건을 확인한다.