값을 건너뛰지 않기
f(a)=−2, f(b)=3이고 그 사이에서 함수가 연속이면 함수값 0, 1, 2 등을 각각 갖는 입력이 존재한다. 함수가 한 방향으로만 변할 필요는 없다. 올라갔다 내려가더라도 연속이면 사이 값을 건너뛸 수 없다.
방정식의 해 존재
f(x)=x³+x−1은 [0,1]에서 연속이고 양 끝 값이 −1과 1이다. 따라서 구간 안에 f(c)=0인 점이 적어도 하나 있다. 이는 해의 존재를 보장하는 것이며 정확한 해나 유일성을 바로 주지는 않는다.
유일성과는 다른 문제
연속함수가 같은 값을 여러 입력에서 가질 수도 있다. 예를 들어 x²은 −1과 1에서 모두 1이다. 해가 하나뿐임을 보이려면 엄격한 단조성 등 추가 조건을 확인해야 한다.
불연속이면 실패할 수 있다
x<0일 때 −1, x≥0일 때 1인 함수는 [−1,1] 양 끝의 부호가 다르지만 값 0을 갖지 않는다. 0에서 불연속이므로 중간값 정리의 조건을 만족하지 않는다. 양 끝 값만 보는 것으로는 충분하지 않다.