근이 남는 절반을 선택한다
구간 [a,b]의 중점 c에서 함숫값을 구한다. f(c)가 0이면 근을 찾았다. 그렇지 않으면 [a,c]와 [c,b] 중 양 끝의 부호가 다른 구간을 남긴다. 연속성 때문에 그 구간에는 적어도 하나의 근이 있다. 근이 하나뿐이라는 뜻은 아니다.
구간을 줄이는 계산 예
f(x) = x²-5를 [2,3]에서 살펴보자. 끝값은 -1과 4다. 중점 2.5의 값이 1.25이므로 [2,2.5]를 남긴다. 다음 중점 2.25의 값도 양수여서 [2,2.25]가 된다. 중점 2.125의 값은 음수이므로 세 번 줄인 구간은 [2.125,2.25]다.
구간 폭으로 오차를 제한한다
초기 구간 폭이 1이면 열 번 절반으로 줄인 뒤 폭은 1/1024다. 이 최종 구간의 중점을 근삿값으로 택하면 구간 안의 근까지 거리는 최대 1/2048이다. 이는 함숫값 자체의 오차 제한이 아니라 x축에서의 거리 제한이다.
부호 변화만으로는 부족하다
1/x는 -1과 1에서 부호가 다르지만 그 사이에서 연속이 아니며 0이 되는 값도 없다. 반대로 x²는 0이라는 근이 있어도 [-1,1]의 양 끝 부호가 같다. 이분법의 조건이 맞지 않는다는 사실과 근이 없다는 판단은 구별한다.