두 확률변수를 더한다
Z가 평균 μ, 분산 σ²의 정규분포를 따르고 E가 비율 λ>0인 지수분포를 따른다고 하자. Z와 E가 독립일 때 X=Z+E가 지수 수정 정규분포다. 지수 성분은 비음수지만 정규 성분은 음수도 가능하므로 합의 범위는 실수 전체다. 정규 밀도에 지수함수를 단순히 곱하는 구성과도 다르다.
합과 혼합의 차이
합은 각 표본에서 정규 성분과 지수 성분을 모두 생성해 더한다. 두 분포 중 하나를 확률적으로 고른 뒤 그 한쪽에서만 표본을 뽑는 혼합분포와는 다른 과정이다. 독립 합의 밀도는 두 밀도의 합성곱으로 얻는다. 같은 두 분포의 이름을 사용하더라도 합인지 혼합인지에 따라 결과가 달라진다.
평균과 분산의 예
독립 조건에서 평균은 μ+1/λ이고 분산은 σ²+1/λ²다. μ=10, σ=2, λ=1/3이면 지수 성분 평균이 3, 분산이 9이므로 합의 평균은 13, 분산은 13이다. 정규 성분 위치 10을 전체 분포의 평균이라고 읽거나 σ=2를 전체 표준편차라고 읽으면 다른 값을 얻게 된다.
구현 모수와 해석
형상 K와 별도 위치·척도를 사용하는 구현에서는 K=1/(σλ), 위치 μ, 척도 σ로 대응할 수 있다. 앞의 예에서는 K=1.5다. λ가 비율인지 평균 대기량인지 먼저 확인해야 한다. 한쪽으로 긴 꼬리를 설명하는 모형이라고 해서 실제 자료에 독립적인 두 생성 과정이 존재한다고 증명되지는 않으므로, 적합 결과와 생성 가정을 구분해 평가한다.