지수 적분 E1

감쇠하는 적분의 꼬리

x>0이면 적분 안의 함수가 양수이고 무한대에서 지수적으로 작아져 적분이 수렴한다. 아래쪽 끝 x를 올리면 양의 면적을 제거하므로 E_1은 감소한다. 적분의 기본정리로 도함수는 −exp(−x)/x다. 함수값이 작다는 것과 변화율의 부호가 음수라는 것은 서로 다른 정보를 나타낸다.

간단한 위아래 경계

t≥x에서는 1/t≤1/x이므로 E_1(x)≤exp(−x)/x다. 부분적분하면 E_1=exp(−x)/x−∫ₓ∞exp(−t)/t²dt를 얻는다. 마지막 적분이 E_1/x 이하라는 점을 사용하면 E_1≥exp(−x)/(x+1)이다. 따라서 양의 입력에서 두 간단한 식 사이에 함수값이 놓이는지 점검할 수 있다.

경계값으로 수치 확인

x=2이면 exp(−2)/3≤E_1(2)≤exp(−2)/2이므로 약 0.0451부터 0.0677 사이여야 한다. 이 범위는 정확한 값 하나를 정하는 공식이 아니라 검증용 경계다. 큰 x에서는 두 경계의 상대 간격도 줄어들어 exp(−x)/x가 첫 근사로 연결된다. 유한 x에서 이를 정확한 등식으로 바꾸어서는 안 된다.

원점과 복소수 확장

양의 x가 0에 접근하면 적분은 로그 형태로 발산한다. 따라서 원점에 유한한 함수값을 넣는 일반적인 연속 확장과는 다르다. 복소수 영역에서는 적분 경로와 음의 실수축의 가지 절단을 고려해야 한다. E_1과 Ei의 부호·입력 관계는 조건을 확인해 사용하며, 음의 실수에 실수 함수로 접근한 값과 복소 경계값을 같은 규약으로 가정하지 않는다.