두 제곱거리 합
표본 수를 N, 군집 수를 K라 하자. 각 표본에서 자기 군집 중심까지의 제곱거리를 모두 더한 값을 W로 둔다. 군집 중심에서 전체 중심까지의 제곱거리에 해당 군집의 표본 수를 곱해 더한 값은 B다. W가 양수이면 지수는 (B/(K-1))/(W/(N-K))다.
네 점의 계산
군집을 (0,2)와 (8,10)으로 나누면 중심은 1과 9이고 전체 중심은 5다. 내부 제곱거리 합 W는 4다. B는 2×16+2×16=64다. N=4, K=2이므로 지수는 64/(4/2)=32다. 같은 네 점을 (0,8)과 (2,10)으로 묶으면 W=64, B=4여서 지수는 0.125로 낮아진다.
좌표의 영향
모든 좌표에 같은 상수를 더해도 중심과의 차이는 바뀌지 않는다. 모든 좌표를 같은 양의 배수로 늘리면 B와 W에 같은 제곱배가 곱해져 비율은 유지된다. 반면 특정 특징 하나만 확대하면 군집 평가가 달라질 수 있으므로 특징 표준화 여부를 함께 정해야 한다.
해석의 범위
높은 점수는 주어진 좌표에서 중심 사이의 분리가 내부 퍼짐보다 크다는 뜻이다. 실제 의미 있는 범주를 발견했다는 증명은 아니다. 군집 수를 바꿔 비교할 수 있지만 업무 목적과 다른 평가도 함께 살펴야 한다. K=1이나 K=N은 위 식에 적용할 수 없으며 W=0인 경우도 일반 비율과 구분해야 한다.
관련 문서
K 평균 군집화 / 실루엣 계수 / 데이비스 볼딘 지수 / 유클리드 거리 / 특징 표준화 / 분산 / 기계 학습