복소수 인수가 들어가는 정의
i²=−1이고 erfc는 상보 오차함수다. 정의에 등장하는 −iz를 실수 −z로 바꾸면 다른 함수가 된다. 또한 exp(−z²)는 exp(−|z|²)와 다르다. 예를 들어 z=i일 때 z²=−1이므로 앞의 지수 인자는 e지만, 절댓값 제곱을 잘못 사용하면 e⁻¹이 된다. 복소수 연산에서는 이런 차이가 결과 전체를 바꾼다.
실수축에서의 두 성분
실수 x에서는 w(x)=exp(−x²)(1+i erfi(x))로 쓸 수 있다. 따라서 실수부는 exp(−x²)이고 허수부는 exp(−x²)erfi(x)다. 실수 입력이라는 사실이 실수 출력까지 보장하지는 않는다. 도슨 적분 F(x)를 사용하면 허수부는 2F(x)/√π다. 실수부는 짝함수이고 허수부는 홀함수이므로 w(−x)는 w(x)의 켤레와 같다.
허수축과 미분 관계
실수 y에 대해 z=iy를 넣으면 w(iy)=exp(y²)erfc(y)라는 실수 값을 얻는다. 특히 y=0에서는 erfc(0)=1이므로 w(0)=1이다. 정의를 미분하면 w′(z)=−2zw(z)+2i/√π가 된다. 원점에서는 w′(0)=2i/√π이며, 실수 방향으로 조금 움직일 때 첫 변화가 허수 성분에 나타난다는 점과 일치한다.
성분을 확인하는 계산
원점 부근의 급수는 1+(2i/√π)z−z²−(4i/(3√π))z³+⋯로 시작한다. 실수 입력에서 실수부와 허수부의 짝홀 성질을 점검하는 데 사용할 수 있다. 큰 입력에서는 지수함수와 오차함수를 각각 계산한 뒤 곱하는 과정에서 수치 범위 문제가 생길 수 있다. 필요한 정확도와 입력 영역을 고려한 전용 함수 계산을 사용하며, 복소 출력의 크기와 실수부를 같은 양으로 취급하지 않는다.