프로베니우스 적분 가능성 정리

방향 분포와 적분 곡면

각 점에 허용 접벡터들의 선형공간을 대응시키는 것을 여기서는 분포라고 한다. 확률분포와는 다른 개념이다. 이 공간들이 어떤 곡면이나 더 일반적인 부분다양체의 접공간이라면 허용 방향을 따라 움직이는 경로는 그 잎 안에 머무른다. 정리는 이런 적분 부분다양체가 국소적으로 존재하는 조건을 다룬다.

리 괄호에 대해 닫혀 있음

분포 안의 매끄러운 벡터장 둘을 골랐을 때 그 리 괄호도 같은 분포 안에 있으면 대합적이라고 한다. 국소 기저 벡터장들의 괄호가 그 기저의 선형결합으로 표현되는지 검사할 수 있으며 계수는 위치에 따라 달라져도 된다. 매끄럽고 일정한 계수라는 표준 전제 아래에서 이 폐쇄성이 완전 적분 가능성과 동치다.

곡면을 직접 찾는 예제

공간 좌표 (x,y,z)에서 g₁=(1,0,y), g₂=(0,1,x)를 보자. 두 벡터는 항상 독립이고 리 괄호는 0이다. 실제로 F=z−xy를 미분하면 두 방향 모두에서 변화가 0이다. 따라서 F=c인 곡면들의 접방향이 이 분포를 이룬다. 초기점 (1,2,5)에서 시작하면 c=3인 곡면에 머무른다.

조건을 생략하면 안 되는 이유

위에서 두 번째 벡터를 (0,1,0)으로 바꾸면 첫 벡터와의 리 괄호는 (0,0,−1)로 두 벡터의 생성 공간 밖에 놓인다. 같은 방식의 2차원 적분 곡면으로 허용 방향 전체를 표현할 수 없다. 또한 계수가 변하는 특이점에는 표준 정리를 무조건 적용하지 않는다. 국소 정리만으로 공간 전체의 단일 전역 좌표식이나 제어 입력 제한까지 결론 내릴 수도 없다.