처음 벡터장만으로 부족한 이유
드리프트가 없는 제어식 q̇=Σgᵢ(q)uᵢ에서 입력 방향의 개수가 상태 차원보다 적어도 여러 운동을 조합해 추가 방향으로 이동할 수 있다. 이를 살피기 위해 gᵢ뿐 아니라 [gᵢ,gⱼ], [gᵢ,[gⱼ,gₖ]] 같은 반복 괄호를 계산한다. 이 벡터장들을 현재 상태에서 평가한 벡터들이 전체 n차원 접공간을 생성하면 계수 조건이 성립한다.
세 좌표의 예제
q=(x,y,z), g₁=(1,0,0), g₂=(0,1,x)라 하자. [g₁,g₂]=(0,0,1)이다. 세 벡터를 열로 놓은 행렬은 ((1,0,0),(0,1,0),(0,x,1))이며 행렬식이 1이다. 따라서 모든 x에서 계수는 3이다. 원래 두 입력 벡터만으로는 세 방향을 즉시 독립적으로 지정할 수 없지만 괄호까지 포함하면 전체 공간을 생성한다.
입력 제약도 함께 확인
매끄러운 드리프트 없는 시스템에서 양·음 방향의 작은 입력들을 사용할 수 있는 표준적인 조건이라면 이 계수 조건으로 소시간 국소 제어 가능성을 얻을 수 있다. 반면 입력이 한 방향으로만 제한되면 같은 결론을 그대로 적용할 수 없다. 위 예제에서 u₁≥0이면 ẋ=u₁이므로 출발점보다 작은 x로는 갈 수 없지만 벡터장의 대수적 계수 계산은 바뀌지 않는다.
경로 생성기와 다른 역할
조건은 국소 운동 능력을 분석하는 도구이지 목표까지의 경로나 제어 입력을 직접 주는 알고리즘은 아니다. 장애물과 입력 크기 제한, 이동 시간은 별도 문제다. 또 어떤 상태에서 계수가 낮다고 해서 항상 첫 번째 괄호 계산만으로 분석을 끝내서는 안 된다. 더 높은 차수의 괄호가 새로운 방향을 만들 수 있으므로 필요한 생성 공간을 확인해야 한다.
관련 문서
벡터장의 리 괄호 / 소시간 국소 제어 가능성 / 비홀로노믹 이동 로봇 / 행렬의 계수 / 행렬식 / 벡터장