행렬 거듭제곱으로 정의한다
A²와 A³는 행렬 곱으로 계산한다. 영행렬 0의 행렬 지수는 단위행렬이다. 반면 영행렬의 모든 원소에 스칼라 지수 함수를 적용하면 모든 원소가 1인 행렬이 된다. 두 연산은 입력이 같아도 의미가 다르다.
급수가 두 항에서 끝나는 예
A의 두 행을 (0,2), (0,0)으로 두자. A² = 0이므로 A의 행렬 지수는 정확히 I+A다. 두 행은 (1,2), (0,1)이 된다. At에서도 제곱 이상의 항이 모두 0이므로 exp(At)의 두 행은 (1,2t), (0,1)이다.
초기 상태를 시간에 따라 옮긴다
위 A에서 dx/dt = Ax, 초기 상태 x(0) = (1,3)을 생각하자. exp(At)를 초기 상태에 곱하면 x(t) = (1+6t,3)이다. 이를 미분하면 (6,0)이며 Ax(t)와 같다. t = 0.5에서는 상태가 (4,3)이다. 이 예는 행렬 지수가 상태 변화와 연결되는 계산을 보여 준다.
정의와 수치 계산은 구분한다
급수는 수학적 정의지만 실제 구현에서 항을 단순히 많이 더하는 방법이 항상 적합한 것은 아니다. 행렬의 크기와 특성, 필요한 정확도에 따라 다른 계산법을 사용한다. 일반 행렬 곱은 교환되지 않으므로 스칼라 지수의 합과 곱 규칙을 조건 없이 그대로 적용하지도 않는다.