힐베르트 변환

주파수의 부호를 구분한다

표준 푸리에 부호 관례에서 양수 주파수에는 -j, 음수 주파수에는 +j를 곱하는 응답으로 표현한다. 직류에서는 별도의 처리가 필요하며 이 정의에서는 0으로 둔다. 모든 성분에 같은 복소수 -j를 곱하는 것과는 다르다.

정현파에 적용한 예

양의 f에 대해 cos(2πft)는 sin(2πft)로, sin(2πft)는 -cos(2πft)로 바뀐다. 예를 들어 3cos(2π×80t)는 3sin(2π×80t)가 된다. 다시 변환하면 -3cos(2π×80t)다. 두 번 적용한 결과가 원래 값으로 돌아오는 변환은 아니다.

고정 지연과 비교한다

양의 정현파에 대한 -90도 변화를 시간 지연으로 해석하면 주기의 4분의 1이다. 100 Hz에서는 2.5 ms, 200 Hz에서는 1.25 ms다. 따라서 서로 다른 주파수들을 하나의 고정된 시간 지연으로 90도씩 바꿀 수는 없다. 이 차이는 다중 주파수 신호에서 중요하다.

실제 구현과 사용

이상적인 연속 시간 임펄스 응답은 1/(πt)와 연결되며 특이점을 포함하므로 일반적인 적분처럼 무조건 다루지 않는다. 실제 디지털 구현에서는 유한 데이터의 주파수 처리나 근사 필터를 사용한다. 변환 결과를 원신호와 결합할 때는 같은 시점끼리 맞추고 계산 구간의 경계 영향도 검토한다.