평면 위의 정수 격자
가우스 정수는 복소평면에서 두 좌표가 모두 정수인 점들이다. 합과 차뿐 아니라 곱도 다시 가우스 정수다. 예를 들어 (2+i)(1−2i)=4−3i다. 반면 1/(2+i)=(2−i)/5는 가우스 정수가 아니므로 나눗셈에 항상 닫혀 있지는 않다.
노름과 가역원
N(z)=z의 절댓값 제곱을 사용하면 노름은 음이 아닌 정수이며 N(zw)=N(z)N(w)다. 가역원은 노름이 1이어야 하므로 1,−1,i,−i 네 개다. 문헌에 따라 절댓값 자체를 노름이라 부르기도 하므로 제곱 여부를 확인해야 한다.
정수 소수가 분해되기도 함
정수에서 소수인 5는 ℤ[i]에서 (2+i)(2−i)로 분해된다. 두 인자의 노름은 5여서 가역원이 아니다. 따라서 정수에서 소수라는 사실만으로 가우스 정수환에서도 소원소라고 할 수 없다. 2도 (1+i)(1−i)로 분해된다.
인수분해의 유일성
ℤ[i]는 유클리드 정역이며 UFD다. 분해는 인자의 순서와 가역원 1,−1,i,−i를 곱하는 차이를 제외하면 유일하다. 단순히 정수 소인수분해 결과에 i를 붙이는 것이 아니라 이 환 안의 나눗셈과 가역원 기준으로 분해를 판단한다.
관련 문서
복소수 / 정수 / 환 (수학) / 가역원 / 유클리드 정역 / 유일 인수분해 정역 / 소원소 / 소수 (수론)