서로소라는 조건
a와 b가 공통 소인수를 갖지 않으면 곱의 함수값을 두 함수값의 곱으로 나눠 계산할 수 있다. 조건은 두 수가 다르다는 뜻이 아니라 최대공약수가 1이라는 뜻이다. 서로소가 아닌 입력에서 등식이 성립하지 않아도 곱셈적 함수일 수 있다.
약수 개수로 보는 예
양의 약수 개수를 τ(n)이라고 하면 τ(3)=2, τ(4)=3, τ(12)=6이다. 3과 4는 서로소이므로 τ(12)=τ(3)τ(4)가 된다. 반면 τ(2)=2지만 τ(4)=3이어서 τ(2)τ(2)=4와 다르다. 약수 개수 함수는 곱셈적이지만 완전 곱셈적이지 않다.
소수 거듭제곱으로 환원
n의 소인수분해가 p₁ᵃ¹p₂ᵃ²⋯pᵣᵃʳ이면 서로 다른 소수 거듭제곱들은 서로소다. 따라서 f(n)은 f(p₁ᵃ¹), f(p₂ᵃ²), …의 곱으로 계산한다. 일반적인 곱셈적 함수에서는 f(pᵃ)를 f(p)의 a제곱으로 바꿀 수 없다는 점이 중요하다.
1에서의 값과 완전 곱셈성
곱셈 관계에 a=1을 넣으면 f(b)=f(1)f(b)다. 함수가 항상 0인 경우를 제외하면 f(1)=1이 따라온다. 완전 곱셈적 함수는 서로소 조건을 요구하지 않아 모든 양의 정수 곱에 등식이 성립한다. 따라서 완전 곱셈성은 보통의 곱셈성보다 강한 성질이다.