아무 순열이나 되는 것은 아님
자기동형은 집합 G의 순열이지만 모든 순열이 자기동형은 아니다. 원소들을 다시 배치한 뒤에도 곱셈이나 덧셈의 구조가 보존되어야 한다. 특히 군의 항등원은 자기 자신으로 가고 각 원소의 위수도 유지된다.
정수 덧셈의 예
정수 덧셈군에서 f(n)=−n은 자기동형이다. 합을 보존하고 두 번 적용하면 원래 수로 돌아오므로 전단사다. 반면 f(n)=2n은 연산을 보존하지만 홀수에 도달하지 못해 정수 전체의 자기동형은 아니다.
켤레 변환
고정한 원소 g에 대해 x를 gxg⁻¹로 보내는 함수는 군 자기동형이다. 이를 내부 자기동형이라고 한다. 가환군에서는 모든 켤레 변환이 항등함수이지만 가환군의 모든 자기동형이 항등함수인 것은 아니다. 정수 덧셈의 부호 반전이 그 차이를 보여 준다.
자기동형들을 합성하기
두 자기동형을 합성하면 다시 연산을 보존하는 전단사가 된다. 항등함수도 자기동형이고 역함수도 자기동형이다. 이 구조가 자기동형군이며, 원래 군이 가환이라는 사실만으로 자기동형군까지 언제나 가환이라고 가정할 수는 없다.