군 전체를 세는 위수
유한군 G의 위수 |G|는 그 군에 몇 개의 원소가 있는지 나타낸다. 정사각형의 모든 회전과 반사를 모은 군은 원소가 8개이므로 위수가 8이다. 그중 특정 회전 하나의 위수가 8이라는 뜻은 아니다.
원소가 돌아오는 주기
곱셈 표기에서는 aᵐ=e가 되는 최소 양의 정수 m을 찾는다. 정사각형의 90도 회전은 네 번 적용해야 처음으로 항등회전이 되므로 위수가 4다. 반사는 두 번 적용하면 돌아오므로 위수가 2이며 항등원 자체의 위수는 1이다.
덧셈군과 무한 위수
덧셈 표기에서는 ma=0이 되는 최소 양의 정수 m을 찾는다. 6을 법으로 더하는 군에서 원소 2의 위수는 3이다. 정수 전체의 덧셈군에서 1은 아무리 양의 횟수만큼 더해도 0으로 돌아오지 않으므로 무한 위수다.
생성 부분군과 연결
원소 a의 위수는 a가 생성하는 순환부분군의 크기와 같다. 따라서 유한군에서는 원소 위수가 군 위수의 약수라는 라그랑주 정리의 결과를 얻는다. 하지만 군 위수가 n이라는 이유만으로 모든 원소의 위수가 n인 것은 아니다.
관련 문서
군 (수학) / 순환군 / 이면체군 / 라그랑주 정리 (군론) / 항등원 / 거듭제곱