도형의 관계를 증명하기
그림은 성질을 발견하는 데 도움이 되지만 눈에 같아 보인다는 사실만으로 길이나 각도의 관계가 증명되지는 않는다. 기하학에서는 정의와 공리, 이미 얻은 정리를 이용해 논증한다.
같은 도형도 어떤 구조를 주목하는지에 따라 다른 질문을 던질 수 있다. 길이를 보존하는 변환과 비율이나 교차 관계만 유지하는 변환은 같지 않다.
좌표로 바꾸는 문제
좌표를 정하면 점과 곡선을 수와 방정식으로 나타낼 수 있다. 도형의 교점을 찾는 문제가 방정식의 해를 구하는 문제로 바뀌는 등 대수적 방법과 연결된다.
좌표는 표현 수단이며 도형 자체와 같은 것은 아니다. 기준을 바꾸면 숫자가 달라져도 기하학적 관계는 유지될 수 있다.
평면에서 곡면과 더 높은 차원으로
유클리드 평면에서 익숙한 성질이 모든 공간에서 같은 것은 아니다. 구면과 곡률을 가진 공간 등에서는 거리와 직선에 해당하는 개념을 정한 뒤 성질을 검토해야 한다.
삼각형의 내각 합이 180도라는 명제도 공간의 조건을 포함한다. 평면에서 얻은 정리를 아무 조건 없이 곡면으로 옮길 수는 없다.
모형과 실제 형태
컴퓨터는 표면을 다각형과 곡선 등으로 근사하여 표현할 수 있다. 측정 자료에는 오차가 있어 이론적인 점과 선을 현실에 적용할 때 허용 범위를 고려한다.
기하학적 모형이 정교해도 재료와 힘, 제작 조건까지 자동으로 설명하지는 않는다. 실제 설계에서는 다른 분야의 모형과 함께 사용한다.