각 괄호에서 하나씩 선택
합을 n번 곱할 때 각 괄호에서 어떤 항을 고르는지에 따라 전개의 항이 생긴다. x₁을 n₁번, x₂를 n₂번 고르는 식으로 총 선택 횟수는 n이다. 같은 단항식을 만드는 선택들의 수를 모으면 해당 항의 계수가 된다.
한 항의 계수 구하기
(x+y+z)⁴에서 x²yz를 만드는 방법은 네 괄호 중 x를 고를 두 곳, y를 고를 한 곳, z를 고를 한 곳을 정하는 것이다. 그 수는 4!/(2!1!1!)=12다. 따라서 전개식에서 x²yz의 계수는 12이며 지수의 합 2+1+1은 원래 거듭제곱 4와 같다.
이항정리와의 관계
합에 항이 두 개뿐이면 n₂=n−n₁이므로 계수는 n!/(n₁!(n−n₁)!)이다. 이는 이항계수이며 다항정리가 이항정리를 포함함을 보여 준다. 항이 세 개 이상이면 각 지수 조합에 대응하는 다항계수를 사용한다.
계수의 합과 조건
모든 변수에 1을 넣으면 전개식의 계수 합은 rⁿ이다. 그러나 서로 다른 단항식의 개수가 rⁿ이라는 뜻은 아니다. 여러 선택이 같은 항으로 모이기 때문이다. 여기서의 유한 전개는 n이 음이 아닌 정수인 경우이며 다른 지수에 같은 유한 합을 그대로 적용하지 않는다.