함께 일어날 확률
사건 A와 B가 독립이면 둘이 함께 일어날 확률은 각 사건 확률의 곱이다. 한쪽 사건의 확률이 양수라면 조건부확률이 원래 확률과 같다는 방식으로도 관계를 표현할 수 있다.
독립이라는 주장은 해당 확률 모형 안에서의 관계다. 두 일이 시간상 떨어져 있거나 이름이 다르다는 사실만으로 확률적 독립이 자동으로 성립하지는 않는다.
배반과 다른 이유
서로 배반인 사건은 동시에 일어나지 않는다. 두 사건 모두 양의 확률을 갖는다면 배반이라는 사실 때문에 한쪽의 발생이 다른 쪽을 배제하므로 독립과 다르다.
이 구별을 놓치면 동시에 일어날 확률을 계산할 때 덧셈과 곱셈 규칙을 잘못 적용할 수 있다. 사건이 겹치는지와 정보가 확률을 바꾸는지는 다른 질문이다.
세 개 이상을 다룰 때
여러 사건이 쌍마다 독립이라고 해서 전체가 상호 독립인 것은 아니다. 모든 관련 부분집합에 대한 결합 확률의 관계를 확인해야 한다.
두 번의 공정한 동전 던지기에서 첫 결과, 둘째 결과, 두 결과가 같은지에 관한 사건들은 쌍별 관계와 전체 관계의 차이를 살펴보는 사례로 사용할 수 있다.
변수와 자료의 관계
확률 변수의 독립은 각 변수가 속하는 값의 범위들에 대한 결합 확률로 설명한다. 단순히 두 변수의 기댓값이 다르거나 산점도에서 뚜렷한 직선이 보이지 않는다는 조건과는 다르다.
적절한 모멘트가 존재할 때 독립이면 상관이 없지만, 상관이 없다는 사실만으로 일반적인 독립을 보장하지는 않는다. 자료 분석에서 사용하는 가정과 실제로 확인한 성질을 구별해야 한다.