몫군의 중심 끌어올리기
Z₀={e}에서 시작한다. Zᵢ를 정했다면 G/Zᵢ의 중심을 몫사상으로 끌어올려 Zᵢ₊₁을 정한다. 즉 Zᵢ₊₁/Zᵢ=Z(G/Zᵢ)다. 이 과정에서 Z₀⊆Z₁⊆Z₂⊆…라는 정규부분군의 열을 얻는다.
가환군과 멱영류
가환군은 처음부터 중심이 군 전체이므로 한 단계에 도달한다. G≠{e}일 때 처음으로 Z_c=G가 되는 c를 멱영류라고 한다. 멱영류가 1이라는 것은 비자명한 가환군이라는 뜻이고, 모든 교환자가 중심에 들어가면 멱영류는 최대 2다.
Q₈의 경우
Q₈의 중심은 {1,−1}이다. 그 중심으로 나눈 몫군은 클라인 사원군과 동형이어서 가환이다. 따라서 Z₁은 전체 군보다 작지만 Z₂=Q₈이 된다. Q₈은 멱영류 2의 비가환 멱영군이다.
유한군의 구조
유한 멱영군은 자신의 실로 부분군들의 직접곱으로 나타난다. 반면 S₃는 중심이 {e}이므로 상부 중심열이 첫 단계 이후에도 커지지 않아 멱영군이 아니다. S₃는 가해군이므로 가해성과 멱영성은 같은 조건이 아니다. 멱영행렬에서 행렬의 거듭제곱이 0이 되는 정의와도 구별해야 한다.
관련 문서
중심 (군론) / 몫군 / 정규부분군 / 가환군 / 사원수군 / 클라인 사원군 / 실로 정리 / 군의 직접곱 / 가해군 / 멱영행렬