곱의 순서에 따른 부호
ij=k, jk=i, ki=j이고 순서를 뒤집으면 부호가 바뀐다. 예를 들어 (ij)j=kj=−i다. i의 제곱은 −1이고 네제곱은 1이므로 i의 위수는 4다. j,k와 각각의 음수도 위수가 4이며 −1의 위수는 2다.
부분군 구조
{1}, {1,−1}, {1,−1,±i}, {1,−1,±j}, {1,−1,±k}, Q₈이 부분군 전부다. 위수 4인 세 부분군은 각각 순환군이고 지수가 2여서 정규다. 나머지 부분군들도 정규이므로 사원수군은 비가환이면서 모든 부분군이 정규인 예가 된다.
켤레류와 중심
켤레류는 {1}, {−1}, {i,−i}, {j,−j}, {k,−k}다. 한 원소만 있는 켤레류에 속하는 1과 −1이 중심을 이룬다. 류 방정식으로 크기를 합하면 8=1+1+2+2+2가 된다.
위수가 같은 군과 비교
Q₈과 정사각형의 이면체군은 모두 위수가 8인 비가환군이지만 동형은 아니다. Q₈에는 위수 2인 원소가 −1 하나뿐인 반면 정사각형의 대칭에는 여러 반사처럼 위수 2인 원소들이 있다. 원소의 개수만으로 군을 식별할 수 없는 예다.
관련 문서
군 (수학) / 가환군 / 순환군 / 정규부분군 / 켤레류 / 중심 (군론) / 류 방정식 (군론) / 이면체군 / 군 동형