집합을 원소로 모으기
A={a, b}라면 부분집합은 ∅, {a}, {b}, {a, b}다. 이 네 집합을 원소로 모은 것이 P(A)다. 멱집합의 원소는 a나 b 자체가 아니라 이들을 골라 만든 부분집합이라는 점이 중요하다.
각 원소마다 두 선택
부분집합을 하나 정할 때 A의 각 원소를 넣거나 넣지 않는 두 가지 결정을 한다. n개의 서로 다른 원소에 대해 독립적으로 결정하므로 총 2ⁿ가지 부분집합이 나온다. 모든 원소를 넣지 않는 선택은 공집합이고, 전부 넣는 선택은 A다.
공집합의 멱집합
공집합에는 원소가 없지만 부분집합은 하나 있다. 바로 공집합 자신이다. 따라서 P(∅)는 {∅}이고 원소 수는 1이다. 원소 수가 0인 집합과 원소로 공집합을 하나 담은 집합을 구별하는 예다.
원소 수별로 나눠 세기
n개짜리 집합의 부분집합을 크기별로 나누면 0개를 고르는 경우부터 n개를 고르는 경우까지다. 각 크기의 경우의 수는 조합으로 계산한다. 이들을 모두 더한 값은 전체 부분집합 수인 2ⁿ와 같다.