구간의 변화율에서 한 점으로
두 입력 사이에서 출력이 얼마나 변했는지를 입력 차이로 나누면 평균변화율을 얻는다. 이 구간을 한 점 주변으로 줄였을 때 적절한 극한이 존재하면 순간변화율을 정의할 수 있다.
아주 작은 간격 하나로 나눈 계산값은 미분계수의 근사일 수 있지만 정의 자체와 같지는 않다. 간격을 줄일 때의 행동과 극한의 존재가 중요하다.
미분계수와 도함수
함수 f(x)=x³의 도함수는 f′(x)=3x²다. 여기서 도함수는 입력에 따라 변화율이 달라지는 함수이며 특정 점의 값 하나와는 구별한다.
미분계수의 단위는 출력의 단위를 입력의 단위로 나눈 것과 연결된다. 시간에 대한 위치의 미분이 속도를 나타내는 것은 변화율의 해석과 단위가 함께 맞기 때문이다.
접선과 근사
미분 가능한 함수는 한 점 근처에서 함수값과 미분계수를 이용한 일차식으로 근사할 수 있다. 이 직선은 그래프의 해당 지점에서 접선으로 이해할 수 있다.
접선이 그래프와 오직 한 점에서만 만나야 한다는 뜻은 아니다. 접선은 국소적인 변화의 기준이며 멀리 떨어진 다른 위치에서 곡선과 다시 만날 수도 있다.
가능한 지점과 불가능한 지점
미분 가능성은 단순한 연속성보다 강한 조건이다. 불연속인 점에서는 보통의 실수 미분계수를 정의할 수 없고, 연속이어도 좌우 변화율이 달라 미분하지 못할 수 있다.
도함수가 0인 지점이 모두 최댓값이나 최솟값인 것도 아니다. 주변의 증가와 감소 등 추가 성질을 확인해야 함수의 실제 행동을 판단할 수 있다.