화살표보다 넓은 개념
평면에서 두 화살표를 더하거나 한 화살표를 두 배로 늘리는 연산은 벡터 공간의 친숙한 사례다. 수학에서는 같은 종류의 연산 규칙이 성립하면 대상이 화살표 모양일 필요가 없다.
예를 들어 실수 계수 다항식들을 더하거나 실수배하면 다시 실수 계수 다항식이 된다. 이 대상들도 실수 위의 벡터 공간을 이룬다. 서로 다른 대상을 같은 연산 구조로 다룬다는 데 추상화의 이점이 있다.
벡터 덧셈과 스칼라배의 조건
벡터를 더한 결과와 스칼라배한 결과는 해당 공간 안에 남아야 한다. 덧셈에는 영벡터와 덧셈의 역원이 있으며, 순서나 묶는 방식에 관한 법칙도 성립해야 한다. 스칼라배는 덧셈에 대한 분배 법칙 등과 양립한다.
단순히 원소를 더할 수 있다는 사실만으로는 충분하지 않다. 예를 들어 양의 실수만 모은 집합은 보통의 덧셈과 실수배 아래 실수 벡터 공간이 아니다. 영벡터를 포함하지 않고 음수배의 결과도 집합을 벗어난다.
기저와 좌표
여러 벡터에 스칼라를 곱해 더한 것을 선형 결합이라고 한다. 공간의 모든 원소를 선형 결합으로 표현하면서 불필요한 벡터가 없는 모음을 기저라고 한다. 유한 차원 공간에서 기저에 포함되는 벡터 수가 차원이다.
좌표는 선택한 기저에 따른 표현이다. 같은 벡터도 기저를 바꾸면 좌표가 달라질 수 있다. 좌표의 숫자와 그 숫자가 나타내는 수학적 대상을 구별해야 변환을 정확하게 이해할 수 있다.
길이와 각도는 추가 구조다
벡터 공간의 기본 정의만으로 길이나 각도가 모두 정해지지는 않는다. 길이를 재려면 노름, 각도와 직교를 다루려면 내적 같은 추가 구조가 필요하다.
그래서 벡터라는 말에 항상 공간 속 방향과 크기가 자동으로 주어진다고 생각해서는 안 된다. 어떤 스칼라를 쓰고 어떤 연산과 추가 구조를 정했는지에 따라 다룰 수 있는 질문이 달라진다.