항을 고르는 방식
수열 aₙ=1/n에서 짝수 번째 항만 고르면 1/2, 1/4, 1/6, …이라는 부분수열이 된다. 원래 항 사이를 같은 간격으로 골라야 하는 것은 아니다. 번호가 증가한다면 다른 간격으로 골라도 된다.
수렴하는 수열에서
원래 수열이 L로 수렴하면 어느 부분수열도 L로 수렴한다. 충분히 뒤의 모든 항이 L 가까이에 들어가므로 그중에서 골라낸 항들도 결국 같은 범위에 남기 때문이다.
발산을 확인하는 예
aₙ=(−1)ⁿ에서 짝수 번째 부분수열은 항상 1이고 홀수 번째 부분수열은 항상 −1이다. 서로 다른 값으로 수렴하는 두 부분수열이 있으므로 원래 수열은 수렴할 수 없다.
한 부분수열의 한계
수렴하는 부분수열 하나를 찾았다고 원래 수열의 수렴이 보장되지는 않는다. 앞의 예에서도 짝수 번째 항들은 1로 수렴하지만 전체는 발산한다. 골라낸 항이 원래 수열의 모든 뒤쪽 항을 대표하는 것은 아니다.