동차식과 상수항의 차이
비동차라는 조건은 모든 상수항이 0이 아니라는 뜻이며 일부 식의 상수항은 0일 수 있다. 동차식과 달리 영벡터는 해가 아니다. 또한 계수행렬이 같아도 b가 달라지면 해의 존재 여부가 달라질 수 있다.
특수해에서 전체 해로
해 x₀가 하나 존재한다고 하자. Az = 0인 벡터 z를 더하면 A(x₀ + z) = b가 되어 새로운 해를 얻는다. 반대로 다른 해 x와 x₀의 차이는 A(x − x₀) = 0을 만족한다. 따라서 모든 해는 x₀ + z의 형태로 빠짐없이 나타난다.
한 식의 예
x + 2y = 3에서 (3, 0)은 특수해다. 대응하는 동차식 x + 2y = 0의 해는 (−2t, t)이므로 원래 식의 해는 (3 − 2t, t)로 나타난다. 실수 평면에서 두 해집합은 서로 평행한 직선이며 원래 해집합은 원점을 지나지 않는다.
해가 없는 경우
x + y = 1과 x + y = 2를 동시에 만족하는 벡터는 없다. 이처럼 비동차식에서는 특수해가 존재하는지 먼저 확인해야 한다. 해가 없는 상황에 특수해와 동차해를 더하는 공식을 적용할 수는 없다.