비중심 F분포

분자가 비중심인 비율

U는 자유도 ν₁과 비중심 모수 λ의 카이제곱변수이고 V는 자유도 ν₂의 중심 카이제곱변수이며 독립이라고 하자. 두 변수를 각각 자유도로 나눈 뒤 비를 구한다. 분자와 분모의 자유도를 생략한 U/V와는 다른 값이다. 예를 들어 U=12,V=20,ν₁=3,ν₂=10인 한 실현값에서는 F=(12/3)/(20/10)=2다.

비중심 모수의 위치

정수 자유도에서는 분자의 정규변수들에 0이 아닌 평균을 허용하며 λ는 표준화된 평균 제곱들의 합이다. 분모는 중심형을 유지한다. 두 쪽 모두 비중심인 비율은 여기서 정의한 한쪽 비중심 F분포와 구분한다. 분자와 분모를 뒤집을 때도 중심 F분포에서 쓰던 자유도 교환 규칙을 비중심성의 위치를 무시한 채 적용해서는 안 된다.

비중심 t분포의 제곱

T=(Z+δ)/√(V/ν)가 비중심 t분포를 따르면 T²=(Z+δ)²/(V/ν)다. 분자는 자유도 1과 λ=δ²인 비중심 카이제곱변수이므로 T²는 분자 자유도 1,분모 자유도 ν의 비중심 F분포다. 예를 들어 δ=2와 δ=−2는 T분포로는 좌우 반사 관계지만 제곱한 뒤에는 둘 다 λ=4가 된다. 제곱은 원래 방향 정보를 보존하지 않는다.

확률을 계산할 때의 구별

λ=0이면 일반 중심 F분포로 돌아간다. 양의 비중심 모수는 단순히 F값에 상수를 더하는 위치 이동을 뜻하지 않는다. 평가점 x,분자 자유도,분모 자유도,비중심 모수를 별도로 입력하고, 임계값보다 클 확률인지 작을 확률인지도 확인한다. 관측된 F통계량 하나만으로 λ를 같은 숫자라고 정할 수 없으며, 분포를 정한 모형과 관측값은 구분한다.