정규변수의 제곱합
독립적인 Z_i가 평균 μ_i, 분산 1의 정규분포를 따를 때 Q=ΣZ_i²는 자유도 k와 λ=Σμ_i²인 비중심 카이제곱분포다. 여기서 k는 더한 변수의 개수다. 분산이 σ_i²인 변수 X_i를 사용한다면 제곱 전에 σ_i로 나누며 비중심 모수는 Σ(μ_i/σ_i)²가 된다. 평균을 뺀 표준화와 평균을 남겨 둔 표준화를 구분해야 한다.
비중심 모수를 계산하는 예
분산 1인 두 독립 정규변수의 평균이 1과 2이면 k=2,λ=1²+2²=5다. 평균을 −1과 2로 바꾸어도 λ는 같으므로 제곱합의 분포는 변하지 않는다. 반면 평균을 단순히 더한 3을 λ로 쓰는 것은 잘못이다. 평균의 방향 부호는 각각 제곱한 뒤 사라지고, 제곱 크기의 합이 분포를 결정한다.
평행이동과 다른 분산
정규변수 하나의 제곱은 평균 1+μ²와 분산 2+4μ²를 갖는다. 독립인 항을 더하면 E[Q]=k+λ, Var(Q)=2k+4λ다. 앞의 k=2,λ=5에서는 평균 7,분산 24다. 자유도 2인 중심 카이제곱변수에 상수 5를 더하면 평균은 같지만 분산은 4로 유지된다. 따라서 위치 모수를 옮기는 방법으로 비중심 분포를 대신할 수 없다.
중심형과 모수 범위
λ=0이면 모든 정규 평균이 0인 중심 카이제곱분포로 돌아간다. 이때 평균은 k,분산은 2k다. 정수 자유도에서의 제곱합 설명과 달리 확장된 분포는 양의 실수 자유도도 다룬다. 비중심 모수에는 λ 대신 λ/2를 사용하는 자료도 있으므로 수식을 비교해야 한다. 서로 상관된 정규변수의 제곱합에는 독립성에 따른 이 설명을 그대로 적용하지 않는다.