비중심 t분포

분자와 분모의 구성

Z는 표준정규변수이고 V는 자유도 ν의 중심 카이제곱변수이며 서로 독립이라고 하자. 분자 Z+δ의 평균이 이동하지만 분모 √(V/ν)도 확률적으로 변한다. 따라서 T는 Z/√(V/ν)+δ/√(V/ν)다. 마지막 항이 고정된 상수 δ가 아니므로 중심 t변수에 δ를 더하는 것과 같은 분포가 되지 않는다.

부호 확률과 좌우 반사

분모가 양수이므로 T≤0은 Z+δ≤0과 같은 사건이다. 따라서 P(T≤0)=Φ(−δ)이고, 이 확률은 자유도에 의존하지 않는다. δ=1이면 약 0.1587이다. 반면 δ의 부호를 바꾸면 분포는 좌우로 반사된다. 비중심 카이제곱분포의 모수처럼 δ를 무조건 양수나 제곱값으로 바꾸면 방향 정보가 사라진다.

정규표본의 t통계량

독립 표본이 평균 μ,분산 σ²인 정규분포를 따를 때 T=(표본평균−μ₀)/(S/√n)는 자유도 n−1,δ=(μ−μ₀)√n/σ인 비중심 t분포를 따른다. S는 표본표준편차다. 예를 들어 n=25이고 평균 차이가 모집단 표준편차의 1/5이면 δ=1,자유도는 24다. 관측된 표본평균 차이를 그대로 이론적 δ와 동일시하지 않는다.

중심형과 확률 계산

μ=μ₀인 표본 모형에서는 δ=0이 되어 중심 t분포를 사용한다. 평균 차이가 있는 모형에서 같은 임계값을 넘는 확률을 계산할 때는 비중심 분포가 필요할 수 있다. 분포의 모수 δ는 관측된 t통계량 그 자체도, 결과의 확률값도 아니다. 계산에서는 자유도,비중심 모수,평가할 t값을 서로 다른 입력으로 다루고, 위쪽 꼬리와 아래쪽 꼬리의 방향을 확인한다.