한 줄씩 늘리기
점을 1개, 2개, 3개인 세 줄로 놓으면 전체는 6개다. 네 번째 줄에 4개를 더하면 10개가 된다. 각 단계에서 바로 앞의 삼각수에 새 줄의 점 수를 더하므로 점화 관계는 Tₙ=Tₙ₋₁+n이다.
공식의 유도
같은 크기의 삼각형 점 배열 두 개를 맞추면 n과 n+1을 두 변의 점 수로 하는 직사각형 배열을 만들 수 있다. 전체가 n(n+1)이므로 삼각형 하나의 점 수는 그 절반이다. 연속한 두 정수 중 하나는 짝수이므로 결과는 정수다.
쌍을 세는 예
다섯 사람 중 서로 다른 두 사람을 고르는 경우의 수는 5×4/2=10이다. 한 쌍에서 두 사람의 순서를 구분하지 않으므로 2로 나눈다. 이 값은 네 번째 삼각수와 같으며, 일반적으로 n+1개 가운데 두 개를 고르는 수는 n(n+1)/2다.
제곱수와의 관계
이웃한 두 삼각수 Tₙ과 Tₙ₋₁의 합은 n²이다. 예를 들어 10+6=16이다. 식으로는 n(n+1)/2+n(n−1)/2=n²로 확인할 수 있다. 서로 다른 점 배열을 합쳐 다른 도형수로 바꾸는 관계다.