정사각형으로 보기
한 변에 점이 4개씩 놓인 정사각형 배열에는 16개의 점이 있다. 이런 배열에서 한 변의 점 수 n을 정하면 전체 점 수는 n²이다. 길이가 n인 정사각형의 넓이와도 같은 곱셈 구조를 갖는다.
연속한 제곱수 사이
3²=9와 4²=16의 차는 7이다. 일반적으로 (n+1)²−n²=2n+1이므로 0², 1², 2²부터 차례로 늘어놓으면 증가량은 1, 3, 5처럼 홀수다. 이 관계를 이용하면 처음 n개의 양의 홀수의 합이 n²임을 설명할 수 있다.
제곱근과 구별
16은 제곱수이고 √16=4다. x²=16을 만족하는 실수는 4와 −4지만 기호 √16은 음이 아닌 값 4를 뜻한다. 어떤 수가 제곱수인지 묻는 것과 방정식의 모든 해를 구하는 것은 서로 다른 질문이다.
정수 조건의 의미
양의 실수는 모두 어떤 실수를 제곱한 값으로 나타낼 수 있다. 그러나 정수론에서 제곱수라고 할 때는 정수를 제곱한 수를 뜻한다. 2=(√2)²라는 식이 성립해도 2가 정수의 제곱수라는 뜻은 아니다.