상태 변화와 출력을 나눈다
연속 시간 선형 모형은 dx/dt = Ax + Bu와 y = Cx + Du로 쓴다. 첫 식은 상태의 변화율을 정하고 두 번째 식은 출력값을 정한다. 상태가 여러 개라면 x는 벡터이며 행렬의 크기는 상태·입력·출력의 개수와 맞아야 한다.
한 상태의 계산
이산 시간 예로 x[n+1] = 0.5x[n] + u[n], y[n] = 2x[n]을 생각하자. 초기 상태 x[0] = 1이고 입력이 계속 0이면 상태는 1, 0.5, 0.25로 줄고 출력은 2, 1, 0.5가 된다. 입력이 없어도 초기 상태 때문에 출력이 생기는 사례다.
직접 전달 항의 역할
앞의 출력 식에 3u[n]을 더하면 D = 3인 모형이 된다. 이때 입력은 상태가 다음 시점으로 바뀌기를 기다리지 않고 현재 출력에도 기여한다. 상태 변화에 관여하는 B와 출력으로 바로 연결되는 D는 같은 역할이 아니다.
상태의 표현은 유일하지 않다
한 상태의 좌표를 두 배로 바꾸어 q = 2x라고 놓으면 상태 방정식과 출력 계수도 함께 바뀐다. 모든 변환을 일관되게 적용하면 같은 입력에 같은 출력을 만드는 다른 표현을 얻을 수 있다. 상태 좌표의 숫자가 다르다는 이유만으로 서로 다른 입출력 시스템이라고 판단하지 않는다.