소시간 국소 제어 가능성

도달 집합으로 정의하기

초기 상태 q의 근방 W 안에 머무르면서 T 이하의 시간에 도달할 수 있는 상태들을 모은다. 작은 T와 W를 택해도 이 도달 집합이 q의 근방을 포함하면 소시간 국소 제어 가능성을 생각할 수 있다. 시간과 공간을 함께 작게 제한하는 성질이며, 단순히 언젠가 먼 목표에 도달할 수 있다는 전역 제어 가능성과 구별한다.

한 변수의 간단한 비교

q̇=u, |u|≤1인 시스템이 q=0에서 출발하면 시간 T 이하의 도달 집합은 [−T,T]다. 0은 내부점이므로 작은 시간에도 양쪽의 가까운 목표로 갈 수 있다. 반면 0≤u≤1이면 도달 집합은 [0,T]다. 집합은 1차원 내부를 갖지만 출발점 0의 양쪽 근방을 포함하지 않는다. 입력의 부호 제한이 핵심 차이를 만든다.

국소 접근 가능성과 구별

도달 집합이 상태 공간에서 비어 있지 않은 내부를 갖는 성질만으로는 출발점이 그 내부에 있다고 할 수 없다. 앞의 한쪽 입력 예제는 이를 보여 준다. 국소 제어 가능성은 이런 접근 가능성보다 강한 조건이다. 차량에서도 전진과 후진의 허용 여부, 최소 회전 반지름, 조향 전환 모델에 따라 가까운 목표에 대한 성질이 달라진다.

가까운 운동도 시간이 필요

STLC는 고정된 양의 거리를 임의로 짧은 시간에 이동한다는 뜻이 아니다. 예제 q̇=u, |u|≤1에서 T=0.01이면 0.1 떨어진 목표에는 도달할 수 없다. 허용 시간이 줄어들 때 보장되는 근방도 함께 작아질 수 있다. 장애물, 입력 제한과 스위칭 시간을 무시한 수학 모델의 성질을 실제 로봇의 무제한 운동 능력으로 읽지 않는다.