야코비 타원함수

적분에서 함수로 되돌아가기

0≤m<1에서 F(φ|m)=∫₀^φ(1−m sin²t)⁻¹ᐟ²dt라고 하자. u=F(φ|m)를 만족하는 각 φ를 진폭이라 하고 sn(u|m)=sin φ, cn(u|m)=cos φ로 정한다. sn의 입력 u는 일반적으로 각 φ 자체와 다르다. 삼각함수를 계산하는 것과 타원적분을 거쳐 각을 복원하는 것은 구분해야 한다.

세 함수 사이의 관계

sn²(u|m)+cn²(u|m)=1이고 m sn²(u|m)+dn²(u|m)=1이다. 실수 u와 0≤m<1에서는 dn이 양수이므로 dn=√(1−m sn²)로 쓸 수 있다. 예를 들어 m=1/4이고 어떤 u에서 sn=3/5라면 cn²=16/25, dn²=91/100이다. 다만 cn은 제곱만으로 부호를 결정할 수 없으며 진폭이 어느 구간에 있는지 알아야 한다.

삼각함수로 돌아오는 경우

m=0이면 적분의 분모가 1이므로 F(φ|0)=φ다. 따라서 sn(u|0)=sin u, cn(u|0)=cos u이고 dn(u|0)=1이다. 이 특수형은 타원함수의 기호와 삼각함수의 관계를 확인하는 기준이 된다. 모수 m과 모듈러스 k를 혼동하지 않는다. k=1/2를 사용하는 정의라면 m을 받는 계산에는 1/4을 입력해야 한다.

완전 타원적분과의 연결

K(m)=F(π/2|m)이므로 u=K(m)에서 sn=1, cn=0, dn=√(1−m)이다. m=1/4이면 dn은 √3/2다. 이 값들은 같은 입력에서 세 함수가 서로 다른 역할을 한다는 점을 보여준다. 타원함수는 타원적분과 연결되지만, 함수값을 곧바로 타원의 좌표나 호의 길이라고 해석하지 않는다. 사용 중인 모수와 정규화 정의를 먼저 확인한다.