야코비 다항식

어느 끝점에 무게를 주는가

α는 1-x에 붙고 β는 1+x에 붙는다. 예를 들어 α=1, β=0이면 가중치는 1-x여서 오른쪽 끝으로 갈수록 작아진다. 두 매개변수의 위치를 바꾸면 일반적으로 다른 가중치와 다항식이 된다.

가중 직교를 직접 확인하기

가중치가 1-x일 때 일차 다항식 3x+1과 상수 1의 내적을 보자. 곱은 (1-x)(3x+1)=1+2x-3x²다. -1부터 1까지 적분하면 2+0-2=0이다. 반면 가중치를 빼고 3x+1만 적분하면 2이므로 직교 성질은 가중치에 의존한다.

스케일과 정의를 구분하기

예제의 3x+1에 0이 아닌 상수를 곱해도 상수 함수와의 직교는 유지된다. 직교 조건만으로는 정규화 계수까지 결정되지 않는다. 최고차항을 1로 맞추는 관례와 표준 야코비 다항식의 계수를 동일하다고 가정하면 안 된다.

차수와 매개변수를 혼동하지 않기

n은 다항식의 차수이며 α와 β는 가중함수의 매개변수다. 예제에서 n=1, α=1, β=0을 넣은 미분방정식은 (1-x²)y″+(-1-3x)y′+3y=0이다. y=3x+1을 대입하면 (-1-3x)×3+3(3x+1)=0으로 확인된다. 선형 시스템을 푸는 야코비 반복법과는 다른 개념이다.