서로 다른 중심을 연결
외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점이고 수심은 세 높이의 교점이다. 무게중심은 세 중선의 교점이다. 서로 다른 방법으로 정의한 세 점이 한 직선에 놓인다는 것이 오일러 직선의 기본 성질이다.
좌표로 확인하는 예
꼭짓점이 (0, 0), (6, 0), (0, 3)인 직각삼각형에서 수심 H는 (0, 0), 외심 O는 빗변의 중점 (3, 3/2)이다. 무게중심 G는 (2, 1)로 이 두 점을 잇는 직선 위에 있다. G는 O에서 H 쪽으로 전체 거리의 1/3만큼 간 위치다.
구점원의 중심
구점원의 중심 N은 O와 H의 중점이므로 오일러 직선 위에 놓인다. O에서 H로 향하는 순서는 O와 G와 N과 H다. 그림에서 어떤 점이 더 가까워 보이는지보다 거리 비와 중점 조건으로 위치를 확인할 수 있다.
정삼각형에서는
정삼각형에서는 외심과 무게중심과 수심이 같은 점이다. 따라서 이 점들만으로는 하나의 직선을 유일하게 정할 수 없다. 오일러 직선을 서로 다른 중심을 잇는 직선으로 말할 때 정삼각형을 따로 다루는 이유다.