같은 소인수가 있어도 성립
보통의 곱셈적 함수는 두 입력이 서로소인지 확인해야 한다. 완전 곱셈적 함수에서는 a와 b가 공통 소인수를 가져도 등식이 성립한다. 따라서 a=b를 넣어 f(a²)=f(a)²를 얻을 수 있으며, 이 성질이 맞지 않는 함수는 완전 곱셈적이지 않다.
간단한 예
양의 정수에서 f(n)=n²로 두면 f(ab)=(ab)²=a²b²=f(a)f(b)이므로 완전 곱셈적이다. 값이 항상 1인 함수도 같은 조건을 만족한다. 특정한 몇 입력에서 등식이 맞는다는 사실만으로 함수 전체의 성질이 증명되는 것은 아니며 모든 양의 정수 곱을 고려해야 한다.
소수에서의 값으로 결정
n=p₁ᵃ¹p₂ᵃ²⋯pᵣᵃʳ로 소인수분해하면 f(n)=f(p₁)ᵃ¹f(p₂)ᵃ²⋯f(pᵣ)ᵃʳ이다. 보통의 곱셈성에서는 소수 거듭제곱 각각의 값을 알아야 하지만 완전 곱셈성에서는 소수에서의 값으로 충분하다. 항상 0인 함수를 제외하면 f(1)=1이다.
뫼비우스 함수와 비교
뫼비우스 함수는 곱셈적이지만 완전 곱셈적이지 않다. 소수 p에서는 μ(p)=−1인데 p²에는 반복 소인수가 있으므로 μ(p²)=0이다. 따라서 μ(p²)와 μ(p)²=1은 다르다. 곱셈적이라는 설명에서 완전이라는 조건을 생략하거나 덧붙이면 다른 성질을 말하게 된다.