정수별 확률을 정규화한다
0<q<1에서 P(X=k)=(1−q)q^|k|/(1+q)로 정의할 수 있다. q=exp(−a)라고 쓰면 tanh(a/2)exp(−a|k|)와 같다. 양의 정수와 음의 정수에서 같은 확률을 가지며 0에 가장 큰 질량이 놓인다. q가 1에 가까워지면 같은 거리에서 확률이 더 천천히 감소한다.
절반씩 감소하는 예
q=1/2이면 P(X=0)=1/3이고 P(X=1)=P(X=−1)=1/6이다. ±2 각각의 확률은 1/12다. 따라서 |X|≤1일 확률은 1/3+1/6+1/6=2/3이고, 나머지 1/3은 절댓값이 2 이상인 정수에 배정된다. 대칭이라는 조건이 모든 정수가 같은 확률이라는 뜻은 아니다.
대칭과 분산
기본형의 평균은 0이다. 분산은 2q/(1−q)²이므로 q=1/2에서는 4다. 평균이 0이어도 표본이 항상 0이라는 뜻은 아니며 양수와 음수 쪽이 서로 균형을 이룬다. 중심을 정수 m만큼 옮기면 X+m의 분포가 되고 평균도 m으로 바뀌지만 분산은 그대로다. 중심과 퍼짐을 구분해야 한다.
연속 밀도와 다른 점
연속 라플라스 분포는 실수 구간의 확률을 밀도의 적분으로 계산하지만 이산형은 정수별 확률을 더한다. 연속 밀도를 정수에 평가한 숫자들의 합이 자동으로 1이 되는 것은 아니다. 반올림한 연속 표본의 분포 역시 별도의 계산이 필요하다. 정수 격자의 간격이나 중심을 바꾸는 경우에도 정의한 확률질량과 가능한 값들을 함께 확인해야 한다.